公用文を書くときに、「できる」「出来る」など漢字で書くべきなのか、平仮名で書くべきなのか迷うことがあると思います。
その判断の基準になるのが以下の２つです（それぞれ文化庁にリンクされます）。
① 「常用漢字表」（平成２２年１１月３０日内閣告示第２号）
② 「公用文における漢字使用等について」（平成２２年１１月３０日内閣訓令第１号）
①「常用漢字表」は、「法令、公用文書、新聞、雑誌、放送など、一般の社会生活において、現代の国語を書き表す場合の漢字使用の目安」であり、「科学、技術、芸術その他の各種専門分野や個々人の表記にまで及ぼそうとするものではない」ものとされています。
ここには「目安」とありますが、公用文においては、「常用漢字表」に従うことが「原則」なっています。
というのも、②「公用文における漢字使用等について」は、その第１の基準に「公用文における漢字使用は常用漢字によるものとする」とはっきりと明言をしているからです。
ちなみに、常用漢字表に掲げられている漢字でも、読みが掲げられていない語句には用いることができません。常用漢字表が示す「音訓」も、厳密な原則となっているからです。
結論からいうと、「出来る」「できる」ですが、意味にかかわらず基本的に常に平仮名で「できる」書きます。
「できる」には「可能である」「能力がある」「完成する」という意味がありますが、どの意味でも「できる」と平仮名表記します。
例
対岸への通行ができるようになった。（可能である）
彼は、仕事ができる。（能力がある）
やっと資料ができた。（完成）
なお、例外として「出来高」「出来が良い」など、「出来」を名詞で使う場合は漢字表記します。
「出来上がる」も漢字で書きます。
とはいえ、公用文以外では「出来る」と漢字表記されていることが多いのが実情です。
「出来る」が誤っているかと言われれば、日本語として誤りではありません。
一般的には、ものが自然に生じる、新たに作られる、者が新しい形で現れるという意味で用いる場合は、意味的に「出来（しゅつらい・しゅったい）」ということなので、「出来る」と漢字で書きます。
一方、能力がある、可能性があるという意味で用いる場合は、意味的に「出来（しゅつらい・しゅったい）」ではないので、「できる」と平仮名で書くことになります。
しかし、どちらにしても公用文に限った話で言えば「常用漢字表」の「来」の終止形の「きる」の読みがないことから漢字では書けないことになります。
一方、名詞の「出来」は「動詞の連用形の名詞化」と呼ばれるもので、来るの連用形に「来（き）」があるため漢字で書きます。
「出来上がる」は、「できる」と「上がる」の複合動詞と考えれば「でき上がる」が正しそうですが、名詞と動詞の複合語と考えて漢字で書きます。
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